◎学数学，并不是能够模仿过程就等于学会了，重要的是真的从概念的层面理解词汇。
◎做题并不能验证孩子对数学概念的掌握情况。作为妈妈，能够用来检验孩子对数学概念掌握情况的唯一方式，就是观察或者询问。
作者原文日记：
1974 年9 月19 日 星期四 晴
今天是我弟弟的生日，妈妈让他先挑，是要小豆冰棍还是北冰洋汽水。他挑了冰棍，我挑了汽水。妈妈说如果我也吃冰棍的话，可以要3 根，这次吃不了，下次出来也可以吃。
1975 年1 月21 日 星期二 阴
晚上吃饭我想吃包子， 妈妈问我吃多少个， 我要吃5 个。吃饺子更好，能吃30 个。妈妈让我想一想5 个包子和30 个饺子更想要哪个。我说都一样，反正不吃馒头。
1975 年1 月25 日 星期六 晴
今天算术考试，有一道题是：1 支铅笔、2 块橡皮、3 把转笔刀一共2.65元；2 支铅笔、3 块橡皮、4 把转笔刀一共3.85 元；3 支铅笔、3 块橡皮、5 把转笔刀一共4.8 元。问：1 支铅笔、1 块橡皮、1 把转笔刀各是多少元？
这道题我没有做出来，妈妈让我多想想。
1975 年1 月26 日 星期天 晴
妈妈带我去商店买铅笔、橡皮还有转笔刀，昨天的题我做出来了。把三个东西都摆在一起，就做出来了。
看了我日记中这四天的内容，再来看现在各地课外数学补习班或者奥数班的内容，我才感到妈妈让我理解题目的过程是多么精心和巧妙。我的妈妈并没有学过心理学，也没有当过老师，她都没有念完初中就参军了。当我在自己50 岁生日那天问她这四段日记内容的时候，她想了许久，说：“不太记得了，不过确实不知道怎么讲给你听啊。”然后我问妈妈知不知道“等量代换”。妈妈说，当然知道啊。我让妈妈给我解释这个词汇，妈妈说，就是“等量交换”的意思啊。我没有继续难为她，妈妈已经在我小的时候，用行动给我解释了“等量代换”。
如果你是一个想为孩子学好数学而尽心尽力的妈妈，就一定思考过应该如何给孩子解释“等量代换”这个概念。通过互联网，你会了解到以下内容。
等量代换的定义：用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（ 或另一种量的一部分）。“ 等量代换” 是指一个量被与它相等的量去代替， 它是数学中一种基本的思想方法， 也是代数思想方法的基础。狭义的等量代换思想通过等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a=b， b=c， 那么a=c。真正使用到的等量代换为：f （a=b） 就是f （a） → f （b），其中f 是函数公式。广义的等量代换举例来说就是：“如果李四是张三的同义词，张三是人，那么李四也是人。”这种数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础，是一个非常重要的知识点，甚至到了大学都还会使用。
接着，你还可能会查到曹冲称象的故事，于是，你觉得应该给孩子讲讲这个故事。把故事讲完，孩子终于应该懂了吧？小朋友说不出来自己懂什么，也说不出来自己不懂什么。孩子到底懂不懂，大人怎么能够知道呢？只有一个办法，那就是做道题试试。
题目示例：
孩子头脑中仍旧是迷雾重重。这些迷雾中有：曹冲是谁？干吗要称象？称象行，干吗又称石头呢？石头与大象有什么关系啊？象重多少是什么意思？什么是等量？代换又是什么意思？接着足球与篮球之间有什么关系？皮球又是什么？都混在一起干什么呢？
做题并不能验证孩子对数学概念的掌握情况。作为妈妈，能够用来检验孩子对数学概念掌握情况的唯一方式，就是观察或者询问。以上这些问题其实反映的是孩子头脑中从具象到抽象的过程。当孩子不清楚一件事情的目的或者不理解目的的时候，就不太能够将注意力集中到这个目的的实施过程上。
目前中国小学教育中三年级就开始教等量代换了，如果你的孩子没懂，你就知道他在课堂上的表现是似懂非懂。孩子可能只是机械地解决题目表面的问题，如果你追问他一些具象的问题而他却回答不出来，那么说明他表面上能够操作符号，但没有理解其在现实生活中的意义。孩子在这样的灌输下长大，也就没有了联系实际的能力，没有了从具象过程中抽象出问题来的能力。通过许多名牌学府，中国向世界输出了不少人才，却很多都是操作型的人才，而缺乏独创型的人才、提出问题的人才、开拓型的人才。这与目前中国小学教育所采用的方法不无关系。要知道，即使一些特级教师都没有思考过这个本质性的核心问题：如何教育孩子掌握概念？
在现实生活中，妈妈让我体会到了冰棍与汽水之间是可以交换的。要不选这个，要不选那个，这让我理解了交换的意思。接着用晚饭吃的包子和饺子来体现一种关系，就是吃两样都可以饱，不过包子是5 个，饺子是30 个。这都是来自生活中的案例，隐含的意思就是都能吃饱的情况——5 个包子与30 个饺子是一回事儿。用钱来衡量的话，那就是3根冰棍与1 瓶汽水的钱是一样的。
孩子在不理解等重的情况下，又如何理解足球、篮球、皮球之间的交换呢？在不知道铅笔、橡皮、转笔刀的情况下，又如何借助价钱的线索寻找不同物品之间的关联呢？
学数学，并不是能够模仿过程就等于学会了，重要的是真的从概念的层面理解词汇。读者朋友们，你们可以尝试一下问问孩子两类问题。
第一类问题是：你见过的猴子是什么样子的？或者可以稍微变化一下问这种问题：你见过的鸡翅是什么样子的？见过的菠菜是什么样子的？然后再问第二类问题：你见过的7 是什么样子的？等量是什么样子的？
对第一类问题，孩子的回答中多数都包括颜色、状态的描述，有时还可能包括见过的地点、时间，以及当时在场的人。对第二类问题，麻烦就来了，孩子几乎无法回答，回答的语言中往往会陷入用7 来解释7。这说明孩子对数字的理解停留在表象上，甚至都没有透彻理解数字的真正意义。
关于这一点我对澳大利亚数学教学与中国数学教学进行过比较。澳大利亚小学3~5 年级的孩子的数学做题速度、准确度都明显不如中国同年龄孩子的表现，但在概念理解上，中国孩子就明显薄弱了。澳大利亚9~11 岁的孩子在解释7 的时候，会说出类似这样的话：7 是一周的天数啊，7 就是你拥有的东西的一个数字记录，7 就是一年级小学生的岁数，7 就是电梯中的数字说明要去的楼层……
而中国的孩子，还有日本、韩国、印度、俄罗斯的孩子，我都曾经直接接触并调研过，他们的反馈十分相似，那就是用数字来解释数字，缺乏运用与现实的结合来理解数字。这样一来，中国的孩子不是输在了起跑的时间上，而是输在了起跑的姿势上。起跑的时间越来越早，起跑的姿势却越来越不正确。随着年龄的增长，这个不正确的姿势无论是对跑步的成绩还是身体形态都会造成越来越明显的影响。因此，重视起跑的时间不如重视起跑的姿势！
对数学概念的理解是孩子数学能力发展的一个重要基础。这个基础从3 岁就开始形成了，然后每3 年一个阶段，直到18 岁。这是数学教育中抽象概念的理解发展规律，具体解释就是对词汇的理解。首先是对数字这个词汇的理解。与大象、牡丹花、猴子不同，数字在现实生活中没有具象的物体，只能从已有的量入手来建立数字概念。
这里涉及另外一个话题，那就是孩子对一个概念的理解是不是只有两个表现，要不就是理解了，要不就是不理解。通过我自己从1985 年到现在不间断地对各个年龄段的孩子的观察和测试，得出的结论是：认知过程在理解抽象事物上分为5 个阶段。以对数字的理解为例。
浅层阶段：仅仅是一个字，与“大”、“天”这样的字是一样的。
初级阶段：一些物品的量，比如我有3个苹果。
中级阶段：一些事物的关系，比如8点总是在9点的前面先到。
高级阶段：这些数量之间不仅可以比较，还可以操作。
深层阶段：数字是数量的符号，可以代表任何事物，任何事物都可以被数字量化。
对于3 岁前就能够从1 数到20 的孩子来说，他们多数都停留在浅层阶段，理解的仅仅是字而已。这个时候需要父母带领孩子进行大量的清点物品的活动，比如，帮孩子清点有多少双袜子、喝了多少水、吃了几个饺子，渐渐培养孩子抽象出数字中的量，在量的基础上开始建立中级阶段的认识。
如果孩子能够主动说出“我这次吃了18 个饺子”或者“我现在又有了1 双袜子，这样我就有7 双袜子了”这样的话，就说明他已经达到初级阶段了。
如果孩子说话中主动运用了数字，而且用对了，就说明孩子对数字的认知能力进步了。这种能力不是依靠考试能够测量的。只有依靠妈妈对孩子平时表现的观察，尤其是言谈话语中流露出来的数字运用的表现。运用语言其实就是大脑层面对各种词汇的操作，运用了数字，大脑神经元的活动区域就扩大到了左脑。只有当左脑中的数字混合了右脑的形象描述时，数字概念才会得到进一步发展。
有许多孩子到了9 岁时，对数字的抽象理解才仅仅到达中级阶段。根据历史记载的曹冲称象的故事来看，实际上是曹冲在6 岁时数字概念就发展到了深层阶段，可以对任何事物进行数量的操作，并且不受事物表象差异的影响。
本文摘自《妈妈教的数学》作者孙路弘 由湛庐文化授权选载
