◎错误是学习的最佳机会，把握这样的机会才能够带领孩子一步一个脚印地走过理解的道路，找到自己独特的方法。
◎妈妈最应该扮演的就是陪伴的角色、好奇的角色、能够不断交流的角色，并在交流中促进孩子自我意识的提升，能够反思做过的题目。
作者原文日记：
1975 年3 月19 日 星期一 阴
今天回家，被妈妈翻书包找到了上个礼拜算术小测试的卷子，发现我有3 道错题。卷子上都已经改好了，老师讲了正确答案，我就会了。妈妈问我，我是哪年出生的，我说是1963 年。然后妈妈问我，那么我出生前1000 年是哪年， 我说是963 年。妈妈又问我，2000 年前是哪年，我说是37 年前，妈妈让我自己算，1963 年前的37 年是哪年，我算了算，发现那是1926 年啊，我就蒙了。
读到这段日记，我尝试回忆当时错的题到底是什么，依稀记得卷子上有一道题，问现在是1975 年，2000 年前是哪年。我肯定是写错了，而且写的应该是25 年，老师给的正确答案应该是“公元前25 年”。也就是说，25 年是正确的，但要在前面写上“公元前”。实际上，日记里妈妈问我问题的这一天，我还是没有弄懂“公元前”的意思，尽管我已经将老师给的正确答案写在了卷子上。
后来我自己当了老师后，才发现了这一点：孩子在听到老师讲的正确答案后，会把正确的答案写在卷子上，不管脑海中理不理解。比如“公元前”这个词，老师肯定讲解过，有一些孩子理解了，有些孩子没理解，我就是其中之一。在课堂上我并没有告诉老师我没有听懂，老师当然不会重新讲一遍。在测验的时候，孩子做错了题目，这个时候应该是老师发现并引导孩子认识错误的好时机，然而多数老师的做法是把正确答案讲出来，然后问孩子们懂了吗。像我这样的学生，肯定不会说自己没懂，而只是将正确答案写在了卷子上。一个老师面对着40 多个学生，没有机会关注每个学生是否真正彻底理解了一个概念，学生貌似理解了，实
际上还是似懂非懂。类似的含糊不清累积起来，错误就会越来越多，错误多了内心深处受到的打击也就越来越大，渐渐对数学就越来越没有兴趣了。
妈妈面对的是一个孩子，比老师要好多了，不用面对那么多学生，所以也就有足够的耐心关心自己的孩子是不是真正知道错在哪里。我是真的不知道错在哪里。那天的日记没有详细记录妈妈是如何教我的，不过后来有一道题我在日记中写了。
1975 年4 月29 日 星期二 晴
今天期中考试， 考后我记住了一道题：历史上商鞅变法是公元前356 年，求距现在已经多少年了。我肯定回答对了。
1975 年4 月30 日 星期三 晴
今天发了算术期中考卷，我得了100 分，特别高兴。妈妈说五一到书店给我买书。我想好了，要买一本公元前的书。
通过这两天的日记片段，我能够看出来，“公元前”这个概念我当时确实是懂了。但在妈妈用我的生日来测试我的时候，我肯定还似懂非懂，后来才明白现在日期中的年份总有一个开始，都叫1963 年、2008年什么的，可是之前呢，就通通叫公元前多少多少年，理解了这一点，与此有关的任何题目就易如反掌了。
1975 年4 月4 日 星期五 阴
今天晚上，爸爸看报纸，说秦始皇统一中国到今天已经2196 年了，他在统一后11 年就死了。这时妈妈问我，秦始皇是哪年死的。那就是现在的1975 年减去2196 年，就是221 年，也就是公元前的意思。然后减去11 年，也就是2185 年前死的，现在是1975 年， 就是公元前210 年死的了。
今天看这段日记，能够看出来一个孩子的思考过程，虽然麻烦，但是概念理解正确。感谢妈妈看到我的测试题，并能够变化形式不断地追问。在应对这些问题的时候，我脑海中的概念也渐渐清晰起来——时间节点不过就是一个起始点而已，之后应该说“公元后”，只是平时省略了，但“公元前”不能省，不然就不清楚说的是哪一年。
妈妈们在对待孩子的时候，经常陷入两种情况：孩子考了100 分就夸奖孩子，看到有犯错的地方就生气。有些情况下妈妈也会给孩子讲解，但是在讲解时却经常使用成人语言。孩子不会表达自己是否真正理解了，只是貌似把正确答案写了出来，其实那不过是孩子自己在尝试，尝试运用一个概念来应对所面对的题目。多数妈妈几乎已经忘记了自己学习数学的过程，有时又会运用后面学到的知识来解决孩子当前面对的题目，所以难以给孩子讲明白，孩子对过程就似懂非懂。错误是学习的最佳机会，把握这样的机会才能够带领孩子一步一个脚印地走过理解的道路，一点一点地找到自己理解数学概念、运算方法、知识原理的独特方法。孩子在成长的过程中，小学阶段做数学题会犯五类常见的错误，分别是：
◎粗心导致的错误。
◎步骤跳跃导致的错误。
◎规则运用模糊导致的错误。
◎题意理解偏差导致的错误。
◎对概念理解不准确导致的错误。
第一类错误：粗心。遇到孩子出现这类错误的时候，妈妈经常不由自主地埋怨孩子。“怎么这么粗心啊！这你都算不对啊！”这些话不能起到让孩子下次细心一点的作用，只会让孩子更紧张。对这类错误，要看类似的题目孩子会不会，如果类似的都做对了，就没有必要纠缠于粗心的错误。粗心是孩子大脑发育过程中的好事，凡是从小就细心的孩子，其创新能力通常也比较薄弱，举一反三的表现不如粗心的孩子。
第二类错误：步骤跳跃。在计算的过程中，书面上跳跃了步骤，而大脑中没有比较严谨、熟练的步骤，想到了下一步，就可能忽略了这一步。这个时候，妈妈可以要求孩子在纸上把每个步骤都写下来。一个步骤就完成一个动作，通过细致的步骤来促成大脑建立清晰、明确的过程，避免以后犯类似的错误。这个时候不是要求孩子速度的阶段，许多家长经常要求孩子快一点做题，尽快完成作业，长此以往，孩子长大后也就必然会过度关注速度、忽视细节。忽视环节的精益求精，轻视过程，只关注结果，也会让人产生以结果为唯一导向的观念。大学生浑浑噩噩四年只为混一个文凭，在校园里耗费青春的现象也几乎都是类似的心理导致的。
第三类错误：规则模糊。数学涉及大量的运算，所有的运算都涉及许多规则，无论是加减法的规则，还是乘除法的规则，或者几何图形中线段的规则、面积的规则、角度的度量与规则等。规则是数学的一块重要基石。没有规则，可以说就没有数学。这也是数学与社会科学有联系的一个方面。社会科学中也经常涉及各种各样的规则，比如先下后上。数学的规则集中在数字上，到了中学才渐渐过渡到针对字母的各种规则，而孩子在执行规则的时候又常会混淆在一起。先乘除后加减就是一个高级的规则，是对规则的一个规则。在这个方面的错误多了会让孩子失去耐心，继而降低信心。
第四类错误：题意偏差。在小学四、五、六年级的错误比率中题意理解偏差高达35%。这个阶段，教材中会出现一些孩子从来没有接触过的词汇，而数学老师又没有特别关注孩子对题目中词汇的理解，也没有专门准备强化对事物关系理解的教学内容，这就导致孩子阅读应用题时连蒙带猜。有时猜对了也不知道自己是怎么猜对的，猜错了老师也不给解释，直接给了正确答案，抄完就等于改错了。
第五类错误：概念曲解。这类错误属于一定要格外重视的，连续3个月的概念不清，将带来继续学习的重重障碍。必须采用前面教过的方法，引导孩子把做题的思路、思考的过程都说出来。妈妈在听的过程中不要急于纠正，而应不断地询问，让孩子讲给你听。根据我的教学实践，孩子在讲的过程中，大约85% 以上都能够自己领悟。那些自己领悟出来的概念，孩子通常就不会忘记了。老师讲的、妈妈讲的，都不如孩子自己的领悟对大脑的刺激深刻，这种深刻刺激能够使孩子彻底掌握概念。
数学最重要的学习其实就是两方面，一方面是规则的熟练，另一方面是概念的理解。规则的熟练需要重复步骤来不断练习，打下扎实的基本功。而概念的理解则需要首先弄懂词汇，然后扩展到对概念的认识。
有一些题目的错误容易判断，不过最好的判断还是让孩子自己说出来，这就是自述法。通过孩子的自述，妈妈能够找到孩子的错误类型，也能够决定是否应该给予足够的重视。有时候，孩子在自述中自己发现了问题，也就自己解决了困难。
在我的日记中，类似妈妈教我认识概念的内容有本回前面提到的“公元前”，还有“素数”，也有四则运算中“括号”、“括号内”与“括号外”的不同等。这些例子证明我不是犯了粗心的错误，就是犯了概念理解偏差的错误。
我的印象中，妈妈从来没有表现出对分数特别关心。我考过满分，妈妈没有为此特别高兴，或者至少没有在我的面前表现过；我也考过不及格，妈妈也没有表现出特别的烦恼和焦虑。每次她都会仔细看我做的每道题，有时还会在纸上写写画画，我知道她也在做题，有时让我将自己的解法说出来，有时我说着说着又有了新的方法。
在数学的学习过程中，分数从来都不是最重要的。考试仅仅是为了了解孩子对已学知识的掌握情况，而不是要进行比较，更不能把考高分当成人生的目标。考试中出现的错误是学习与纠正脑海中对概念错误理解的最佳机会。我的妈妈选择公开地与我讨论考试卷子，让我后来再也没有隐藏过试卷，无论考了多少分，我都愿意让妈妈看。最高兴的是，有时妈妈也会做不出来，又看不懂我做的，这时我就有机会给妈妈讲解题目了。至今我从心里乐于教数学，热衷于辅导孩子数学，并能够快速找到孩子学习数学时卡住的原因，这些能力都应该归功于妈妈与我的交谈——面对考试卷子的交谈。
本文摘自《妈妈教的数学》作者孙路弘 由湛庐文化授权选载
