年龄：从出生到20岁出头

　　很多孩子都说过：“数学太难了！”——不仅仅是女孩儿，所有的孩子都一样。孩子的脑已经习惯于快速应对日常生活中的问题了，也就是 说，跟解决代数问题相比，他们更擅长算计如何报复刚刚欺负过他的孩 子。(当然，这种“社会性计算”也需要某种数学能力，因为他需要事先 判断一下周围有多少对方的朋友，多少自己的朋友。)

　　孩子和很多动物都有神经系统来支持最原始的数量感。在正常情况下，这种数量感会跟人的其他能力结合在一起，使我们能够创造和操纵 符号，从而生成正式的数学。这种数学只存在于某些社会文化中，在其他的社会文化中则没有。数学看似不适合孩子的成长，其实对孩子的成长有益。

　　在过去几十年里，人们越来越认识到，婴儿有很强的“形成跟数字有关的概念”的能力。例如，把一个物体藏到屏幕后面，之后却出来两个物体，婴儿会盯着物体看很久，表现出惊奇。相反，如果一只米老鼠玩具“躲”到屏幕后面，然后出来一辆卡车，婴儿一点儿都不关心。而如果他看到一只米老鼠跟另一只米老鼠一块儿出来，他就会表现出惊奇了，注视的时间就更长一点儿。这种注意新增加的物体的能力是数字概念的一个必要组成成分。

　　这种能力并不局限于较小的数。当一个 6 个月大的婴儿看到一系列的图片，每个图片上都有若干个物体(黑点、面孔或者任何东西)时， 他会注意到图片上物体的数量是否翻倍或者减半了。随着年龄的增加，这种数量感越来越强。对婴儿来说，他们不用数就能够识别出 1 ∶ 2 的比率(例如，比较 4 个和 8 个物体，或者比较 6 个和 12 个物体)，不过 成人则能识别更精细的例如 7 ∶ 8 的比率。

　　数量感(分辨大小不同的群组)人人都有。数量识别则是另一种普遍性的数学能力，它是指在不需要一个一个去数的情况下就能够立即知道有几个物体(通常数量较小)的能力。这个术语来自于拉丁文 subitus，意思是“突然”。数量感和数量识别是所有动物共有的能力，而且，人和动物的脑中负责两种能力的神经系统可能也是相同的。

　　在老鼠、狗甚至鸽子身上都可以看到这些能力。这些能力为这些物种提供了一种生存优势：使动物能够对事物的量进行估计，从食物来源 到潜在的敌人。例如，一般来说，当狮子听到别的狮子在附近咆哮时， 他们会作出反应。但是，根据听到的其他狮子的个数以及自己群体成员 的多寡，它们通常会作出不同的反应。如果觉得自己这边数量上不占优，他们会召集同伴来支援。同样，对猩猩来说，如果自己群体中个体的数 量不占优，它们也会避免跟对方发生冲突。

　　为什么研究人员花了几十年的时间才了解小孩子的数量感呢？一个原因是早期的研究人员(如皮亚杰)在实验中问错了问题。例如，把小球排列成几行，有的行小球间隔较远，看起来好像更长。研究人员如果 问：“哪一行的物体更多？”那么，三四岁的儿童会指着数量较少，但是 排列得较稀疏的那一行。而如果把小球换成巧克力，并许诺孩子一会儿 就可以吃掉这些巧克力，那么，他们的表现要好得多。如果分析一下的 话，这个实验似乎测量了两种东西：数量感和清晰表达数量感的能力。3 岁的孩子有数量感，但是他不会说。除了让他吃巧克力以外，你还真的 很难从他的嘴里知道他到底知不知道正确答案。

　　奇怪的是，如果是 2 岁的孩子，无论是小球还是巧克力，他们感知得都 很好。这个结果似乎表明，在 2 岁的时候，孩子有较清晰的数量感，但是在随后的 1 年里，他们失去了这种抽象的感觉。到底发生了什么？一种可能是，在三四岁的时候，孩子的数量感经历了一个“对数量的直觉”和“一种明确的、 较晚发展起来的抽象数字感”糅合在一起的过程。到了 5 岁，一切都搞定了， 此时，他去数一数小球就行了——不过，他们也许会期待吃到巧克力。

　　对巧克力的喜爱似乎是一种本能，实际上的确如此。研究证据表明， 黑猩猩也能在心里对数量进行类似于加法的组合。如果按照先后顺序给 黑猩猩看 3 个盘子，每个盘子里面都有不同数量的巧克力，那么，他们 能够判断头两个盘子中的巧克力总和比第三个盘子里面的巧克力多还是 少。由此可见，从进化来说，最原始的数学能力比我们人类的历史还要 悠久，它是孩子与生俱来的能力的一部分。

　　在人脑和猩猩的脑中，表征数量感的脑区是一样的。数量信息似乎 由前额叶和顶叶后部来表征。一个关键的脑区是顶内沟。这是一个凹进 去的沟槽区域，表征着特定的数字概念(例如“第十七个”)。如果这个 脑区受到损伤，人们对数量问题的回答就只能接近正确，但是无法完全 正确——相当于黑猩猩的水平。

　　数量感能够在演化中保留下来，使科学家们觉得，我们的脑对数量 的呈现可能跟它们的相对大小有关，就好像有一条心理的数列一样。有 一些证据对这种提法提供了支持，例如，让我们判断两个数哪个更大的 时候，如果这两个数相邻(如 8 和 7)，要比两个数相隔较远(如 8 和 2) 的时候需要更长的时间来反应，这就好像相邻的两个数在心理空间上也 是相邻的一样。在判断相邻的两个数的时候，顶内沟会被激活。你可能 会觉得数量的存储像计算机加工数字一样，数字之间无论差异大小，分 辨难度差不多，但其实在脑中，情况可能完全不同。脑可能采用更加有 序的方式来表征数量，就好像尺子上面的刻度一样。

　　当猴子看到特定数量的物体或者近似数量的物体时，它们的顶内沟位置的一些神经细胞会被激活。一般来说，这些脑区属于脑中识别物体位置的神经通路，包括识别有多少个物体，这些物体要向哪个方向移动等。

　　顶叶负责“位置信息”的皮层(参见第 10 章)似乎有多种不同的功能。在眼睛运动的时候，猴子和人的顶叶皮层后部都会被激活。同时，当神经学家让被测试者躺在磁共振扫描仪里，完成简单的数学任务时， 他们发现，这个脑区还有一种有趣的能力：当人们在心里做加法或者减法运算时，即便眼睛没有移动，这个脑区也被激活了。跟这个脑区有连 接的附近其他脑区紧密地参与了视觉功能，例如出现突然的眼球震颤(眼 跳)，对某个图像移动方向的觉察等。因此，我们对空间的观察方式可能 跟我们的心理数列密切关联。甚至，我们可以根据顶叶皮层后部的激活 模式，在一定程度上预测某个人到底是在做加法还是减法，预测的正确 度大概是中等。

　　跟眼睛运动能力有关的脑区和与基本的计算能力有关的脑区有重叠，这一点似乎有点儿怪异，但是这也表明，我们的脑加工抽象信息的能力在一定程度上依赖于我们应对物理世界的方式。除了计算能力以外，我们的很多认知能力都以类似的方式“镶嵌”在其他能力中。通过这种方 式，我们的脑就能够采用进化过程中形成的更加具体的动作(例如寻找猎物或者在丛林中寻找回家的路等)，来进行抽象的思考。要想将这些估算能力转换成精确的数学表述则需要符号表征能力。

　　这种能力是随着语言而出现的。语言是一种高效而精细的表征信息的方 式。鹦鹉、海豚、恒河猴以及黑猩猩都能用符号来表征数量。例如，有两只黑猩猩，一只叫作埃布尔，另一只叫作贝克。它们能从两个数字中 选择一个较大的，从而得到更多数量的糖果。在大多数情况下，动物还不能对符号进行加或减。但是有一只黑猩猩是个例外，它叫作谢巴赫， 经过几年的训练，它能完成一些简单的加法计算。

　　即 便 人 类 有 计 算 和 数 学 的 心 理 能 力， 但 是 大 家 并 不 经 常 使 用。 法 国科学家斯坦尼斯亚斯 · 德阿纳和皮埃尔 · 皮察研究了南美洲亚马孙 丛林中的蒙杜鲁库人，这个部落的人不会计算，他们的语言中用来表 示数量的词汇也非常少。其中只有几个词是精确的数量(pug ma 代表1，xep xep 代表 2)，大部分都只是近似数(如 ebapug 代表 2 和 5 之间， ebadipdip 代表 3 和 7 之间)。蒙杜鲁库人在进行大组物体的粗略加法时还 不错，跟西方人做得一样好。但是对小的数量进行精确计算时则不行了； 例如，如果把 6 颗豆子放进罐子，然后拿出 4 颗，问他们还剩几颗时， 他们会说“0”或者“1”，很少会说“2”。

　　孩子早期的估算能力能够预测他将来的计算能力。这表明，在孩子们开始能进行计算之前，他们加工数量的一般能力就已经出现个体差异了。那么，这种能力是否可以通过训练得到提高呢？也许，可以通过训练孩子早期的估算能力来提高他们将来的计算能力。虽然这个想法还没有得到检验，但还是很有可能的。

　　基于基本的数量感，我们可以构建起更加复杂的概念，像复数、虚数、实数等。基于这些能力以及其他方面的脑功能，我们就可以发掘出更复杂的数学能力：乘法、三角函数、微积分等等。

　　关于脑如何生成抽象的数学，这方面的研究才刚刚开始，不过，研究人员已经有了一些发现。例如，较高水平的数学知识需要额外的概念和更多的脑区参与进来。代数要求孩子把他们的数量能力跟抽象符号的操纵能力结合在一起。对于刚刚开始学习代数的学生来说，入门的方式可以多种多样。例如，跟解方程式相比，解应用题要相对容易一些。这些不同的处理方式要用到不同脑区。

　　为了考察解决问题时到底哪些脑区参与进来了，研究人员让人们躺在磁共振扫描仪里面，同时解答应用题和类似的公式。(例如：1. 服务员卡西每天当班 4 小时，每小时赚 10 元，在下班时还能得到 12 元的小费， 那么请问，她一天到底能赚多少钱？ 2. 若 10H+12=E，且 H=4，那么， E是多少？)扫描结果表明，解应用题时，左侧前额叶皮层被优先激活，这个脑区跟工作记忆和数量加工有关；解公式时，负责表征心理数列的 脑区被激活了，例如顶叶皮层的一部分，包括楔前叶(顶叶内侧的一个 区域)以及部分基底神经节(对于动作和运动至关重要)。

　　这样的差异表明，开始学习代数的学生可以尝试不同的方式来解决 同一个问题。当问题较难时，除了我们前面提到过的皮层区域，会有更 多的左半球脑区参与进来。至于高等数学，像三角函数或微积分，还没 有得到充分的研究，但是研究人员相信，这些能力可能也跟脑中负责符 号表征和空间操纵的神经系统有关。

　　在某种程度上，上面这些发现支持了欧几里得关于几何学的名言：“通往知识殿堂的路没有捷径。”数学是非常复杂的系统，是人类最伟大的发明之一。我们能够发现负责讲故事和控制眼睛运动的神经环路 也参与了产生、理解和应用数学，这本身就是一项了不起的发现。让我们的脑适应我们的环境，是一件极其了不起的、我们的祖先从未想过的事情。